DIVISIÓN ENTERA

DIVISIÓN ENTERA                                                     DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS

POLINOMIOS, ECUACIONES Y FUNCIONES

1. POLINOMIO

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n − 1} x^{n − 1} + a_{n − 2} x^{n − 2}+ ... + a₁x¹ + a₀

Siendo:

a_n, a_n−1 ... a₁, a_onúmeros, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

a_n es el coeficiente principal

a_o es el término independiente

2. ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras, llamadas incógnitas.

x + 1 = 2         x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2

x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2

−13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x +1

Ecuación de segundo grado.
 5x + 3 = 2x² + x

Ecuación de tercer grado.
5x³ + 3 = 2x +x²

Ecuación de cuarto grado.
5x³ + 3 = 2x⁴ +1

3. FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    

   x    f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

   x      

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x ∈  / ∃ f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x ∈ D}

POLINOMIOS

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por:

• Números (1,2,3,...)
• Operaciones (+,-,*,/)
• Letras, llamadas indeterminadas (x,y,z,...) que significan números

Los polinomios son la base de todo, permiten poner expresiones algebraicas de una forma determinada:

VALOR NUMÉRICO de un polinomio P(x) en un cierto valor.
Ej. a a \in  )

(en un número
-Notación P(x)

RAÍZ DE UN POLINOMIO P(x)

Aquellos números que al sustituirlos por x da 0


Solución de esta ecuación polinómica y raíz del polinomio P(x)









ECUACIÓN POLINÓMICA.





Grado de un polinomio:

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

Tipos de polinomio:

1Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x² + 0x + 0

2Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

3Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 3x² − 3

4Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

5Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

6Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

7Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x³

8Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 3x³ + 7x − 2

OPERACIONES POLINÓMICAS

• Suma de polinomio

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

3.Sumamos los monomios semejantes.

• Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

• Multipliación de polinomios.

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Multiplicación de un monomio por un polinomio


Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Multiplicación de polinomios

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

Se suman los monomios del mismo grado.

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.



También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

• División de polinomios

1. Resolver la división de polinomios:

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.








A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Procedemos igual que antes.

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

2. División por Ruffini


Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.


Resolver por la regla de Ruffini la división:

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.


2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.


3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.


9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x³ + 3 x² + 6x +18