Ejercicios de la regla de la cadena III

Ejercicios de la Regla de la cadena II

Paso a paso la regla de la Cadena I

 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

                                       

 

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

              

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

 

Resolución:

 

                                    

                              

                         

 

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

 

· Por la regla de la cadena,

                                

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

             

                      

aplicando la regla de la cadena, será:

                                 [u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

                           

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

· Si u = x² + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x² + 1)² · 2x = 6x (x² + 1)²

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Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

                                             

Ejercicio: cálculo de derivadas

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Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

                          

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

· u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

                                   f'(x) = (a^u )' = u' · a^u · ln a

                                         g'(x) = (e^u )' = u' · e^u

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

Resolución:

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

                        f'(x) = (4^{x sen x} )' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

 

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

       

      

            

        

Ejemplos

 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

· u = x² - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

· Llamando u = sen x², hay que derivar sen³x² = u³.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³ )' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

· Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' = 3 · sen²x² · 2x · cos x² =

= 6x · sen²x² · cos x²

LA REGLA DE LA CADENA

ÍNDICE

Fuentes de información:

• http://sobrehistoria.com/la-edad-media 
• http://www.historialuniversal.com/2010/08/edad-moderna.html
• http://grandeshechosdelahistoria.blogspot.com.es/2011/11/edad-antigua.html
• http://www.monografias.com/trabajos81/hechos-relevantes-historia-contemporanea/hechos-relevantes-historia-contemporanea.shtml#ixzz48iNZug
• https://tallcute.wordpress.com/2008/03/05/historia-del-conocimiento
• file:///C:/Users/carli_000/Downloads/comunicarlaciencia.pdf
• https://sites.google.com/site/groupccygv/wiki-del-proyecto/introduccin/historia-del-conocimiento
• https://prezi.com/htgjtdfl-0sl/linea-del-tiempo-conocimiento/ 
• http://www.monografias.com/trabajos81/hechos-relevantes-historia-contemporanea/hechos-relevantes-historia-contemporanea.shtml

La Guerra del Cálculo infinitesimal

REFLEXIÓN: 

Tras documentarme a cerca de la disputa protagonizada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz por el descubrimiento del cálculo infinitesimal he podido comprobar aquello que dicen sobre la personalidad de Newton, que era una persona manipuladora, perversa, hostil, arrogante..., pero también que no es el único. En la mayor parte de articulos, opiniones y noticias que he leído sobre el tema ponen a Newton como lo peor sólo por los antecedentes que este matemático tiene, sin caer en que no fue el único que actuó de esa forma. Leibniz también pese a haber estado intercambiando ciertos avances con Newton por cartas que se escribían, en un inicio cordiales y luego ya no tanto, Leibniz no le tuvo en cuenta y decidió publicar su descubrimiento sin nombrar a Newton.

Por ello ¿mereció la pena esta situación que se vivió? Claro que no, como dice el texto de José Manue López Nicolás, esto supuso un retraso en las matemáticas anglosajonas, pues el enfrentamiento que comenzó abariciosamente de la mano de estos dos matemáticos, acabó siendo ya no solo una disputa de dos bandos si no de dos grandes países.

Una vez más el trabajo en equipo, o en este caso en pareja hubiese sido probablemente un beneficio para el mundo de las matemáticas. No debemos centrarnos en superar y ganar a los demás, sino tratar de superarnos a nosotros mismos.

Fuentes de información:

• https://scientiablog.com/2011/05/19/la-guerra-del-calculo-matematico-newton-contra-leibniz/
• https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html
• http://www.batanga.com/curiosidades/5440/newton-vs-leibniz-la-disputa-por-el-calculo-infinitesimal
• https://acelerandolaciencia.wordpress.com/2014/01/12/newton-leibniz-y-el-calculo-infinitesimal/
• http://www.youtube.com/watch?v=J0UcthTamB0
• http://www.youtube.com/watch?v=zFtw1-LUh60&feature=relmfu
• http://www.youtube.com/watch?v=3Ylom1R5RwI&feature=relmfu

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN: